高考数学　解三角形

2025年
全国卷
1. 全国一卷（新高考）多选题：在△ABC中，已知\(\sin A = 2\sin B\cos C\)，且面积\(S = \frac{1}{4}(a^2 + b^2 - c^2)\)，则以下结论正确的是（）
2. 全国二卷（新高考）单选题：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(\cos C = \frac{1}{3}\)，则c =（）
自主命题省市
1. 浙江卷填空题：在△ABC中，\(\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{2}{3}\)，\(\cos C = \frac{1}{4}\)，若\(c = 4\)，则△ABC的面积为（）
2. 辽宁卷填空题：已知向量\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{AC}\)的夹角为60°，\(|\overrightarrow{AB}| = 2\)，\(|\overrightarrow{AC}| = 3\)，则BC边的长为（）
2024年
全国卷
1. 全国甲卷（文/理）单选题：在△ABC中，\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R\)，若\(a = 2R\sin A\)，\(b = 2R\sin B\)，且\(A = 60°\)，\(b = 2\)，则a =（）
2. 全国Ⅰ卷（文）单选题：在△ABC中，若\(a\sin A = b\sin B + c\sin C - \sqrt{3}b\sin C\)，则角A =（）
3. 全国Ⅱ卷（文）单选题：已知△ABC中，\(B = 45°\)，\(c = 2\sqrt{2}\)，\(b = \frac{4\sqrt{3}}{3}\)，则角C =（）
4. 全国Ⅲ卷（文）填空题：在△ABC中，\(C = 60°\)，\(b = 2\)，\(c = \sqrt{6}\)，则角A =（）
自主命题省市
1. 北京卷（新高考）填空题：△ABC中，\(a = 3\)，\(\cos B = \frac{3}{5}\)，\(c = 5\)，则b =（）
2. 上海卷（新高考）填空题：一艘船在A处测得灯塔C在北偏东60°方向，船向正东航行20海里到B处，又测得灯塔C在北偏东15°方向，则灯塔C到航线AB的距离为（）海里（精确到0.1）
3. 天津卷（新高考）填空题：在△ABC中，\(\cos A = \frac{1}{3}\)，\(AB = 3\)，\(AC = 2\)，则BC =（），△ABC的面积 =（）
2023年
全国卷
1. 全国甲卷（理）填空题16：在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=√6，AD为∠BAC的角平分线，则AD =（）
2. 全国乙卷（文）填空题14：△ABC中，\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(\cos(A - B) = \frac{5}{6}\)，则\(\sin B = \)（）
3. 新课标Ⅰ卷填空题15：已知函数\(f(x) = \sin x + \cos x\)，在△ABC中，\(f(A) = \sqrt{2}\)，\(a = 2\)，\(b = \sqrt{2}\)，则角B =（）
4. 新课标Ⅱ卷填空题16：△ABC中，\(\sin A + \sin B = 2\sin C\)，若\(c = 2\)，则△ABC周长的最大值为（）
自主命题省市
1. 北京卷单选题7：在△ABC中，\(\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}\)，则角C =（）
2. 上海卷填空题：△ABC中，\(a = 4\)，\(b = 5\)，\(c = 6\)，则\(\sin A = \)（）
3. 天津卷双空题：△ABC中，\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3\)，\(|\overrightarrow{AB}| = 2\)，\(|\overrightarrow{AC}| = 3\)，则角A =（），BC边的最大值为（）
2022年
全国卷
1. 全国甲卷（文/理）填空题16：△ABC中，\(AB = 4\)，\(BC = 6\)，∠B = 60°，D为BC上一点，当AD最小时，\(\frac{BD}{DC} = \)（）
2. 全国乙卷（理）填空题15：已知函数\(f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{3})\)（\(\omega > 0\)）的周期为π，在△ABC中，\(f(A) = \frac{1}{2}\)，则角A =（）
3. 新高考Ⅱ卷单选题6：在△ABC中，\(\cos^2\frac{A}{2} = \frac{b + c}{2c}\)，则△ABC的形状为（）
自主命题省市
1. 北京卷填空题13：函数\(f(x) = \sin x - \cos x\)的零点为\(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\)（\(k \in Z\)），在△ABC中，\(f(C) = 0\)，\(c = 2\)，则△ABC面积的最大值为（）
2. 浙江卷填空题11：利用秦九韶“三斜求积术”：\(S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2})^2]}\)，若△ABC中，\(a = \sqrt{3}\)，\(b = 2\)，\(c = \sqrt{5}\)，则面积S =（）
2021年
全国卷
1. 全国甲卷（文）单选题：为测量珠峰高度，在山脚A处测得峰顶仰角为α，前进a米到B处测得仰角为β，已知山的坡度为γ，则珠峰高度为（用正弦定理表示）（）
2. 全国乙卷（理）填空题15：△ABC中，∠B = 60°，面积\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)，且\(a^2 + c^2 = 3ac\)，则b =（）
3. 全国Ⅲ卷（文）单选题：△ABC中，\(\cos C = \frac{2}{3}\)，AC = 4，BC = 3，则\(\tan B = \)（）
自主命题省市
1. 北京卷填空题15：△ABC中，\(a = 2\)，\(b = \sqrt{2}\)，\(A = 45°\)，则c =（）
2. 浙江卷填空题14：△ABC中，\(a = \sqrt{3}\)，\(b = 2\)，\(A = 60°\)，则\(\sin B = \)（），c =（）
3. 天津卷填空题15：△ABC中，\(\sin A = \frac{3}{5}\)，\(\cos B = \frac{5}{13}\)，则\(\cos C = \)（）
2020年
全国卷
1. 全国Ⅰ卷（理）填空题：将三棱锥P-ABC的侧面展开，得到四边形P1P2BC，其中P1B = PB = 3，P2C = PC = 4，BC = 5，∠P1BP2 = 60°，则AB的长为（）
2. 全国Ⅱ卷（文/理）单选题：△ABC中，\(\sin^2 A - \sin^2 B - \sin^2 C = \sin B \sin C\)，则角A =（）
3. 全国Ⅲ卷（理）单选题7：△ABC中，\(\cos C = \frac{2}{3}\)，AC = 4，BC = 3，则\(\cos B = \)（）
4. 新高考Ⅰ卷（山东）填空题：在△ABC中，从①\(a = \sqrt{3}b\sin A - a\cos B\)，②\(\cos A + \cos 2A = 0\)，③\(\sin B - \cos C = \sin(A - C)\)中任选一个条件，求角B =（）
自主命题省市
1. 北京卷填空题：△ABC中，选择条件①\(b = \sqrt{3}\)，②\(c = 1\)，③\(\sin B = \sqrt{3}\sin C\)中的两个，求a =（），△ABC的面积 =（）
2019年
全国卷
1. 全国Ⅰ卷（理）单选题：△ABC中，\(\tan A = \frac{1}{2}\)，\(\cos B = \frac{3\sqrt{10}}{10}\)，则\(\tan C = \)（）
2. 全国Ⅱ卷（理）填空题15：△ABC中，\(b = 6\)，\(a = 2c\)，\(\cos B = \frac{1}{2}\)，则△ABC的面积为（）
3. 全国Ⅱ卷（文）填空题15：△ABC中，\(b\sin A + a\cos B = 0\)，则角B =（）
自主命题省市
1. 浙江卷填空题14：Rt△ABC中，AB=4，BC=3，D为AC上一点，∠BDC=45°，则BD =（），\(\cos∠ABD = \)（）
2. 江苏卷填空题：△ABC中，\(a = 2\)，\(b = \sqrt{2}\)，\(c = \sqrt{3} + 1\)，则角A =（）
2018年
全国卷
1. 全国Ⅱ卷（文/理）单选题6：△ABC中，\(\cos\frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)，BC=1，AC=5，则AB =（）
2. 全国Ⅲ卷（文/理）单选题9：△ABC中，\(A = \frac{\pi}{3}\)，BC=3，则△ABC的周长为（用B表示）（）
自主命题省市
1. 北京卷（文）双空题：△ABC中，面积\(S = \frac{1}{2}\)，\(AB = 2\)，∠B为钝角，则AC的取值范围是（），角B的取值范围是（）
2. 浙江卷填空题：△ABC中，\(a = \sqrt{3}\)，\(b = 2\)，\(A = 60°\)，则\(\sin B = \)（），c =（）
3. 江苏卷填空题14：△ABC中，AD为角平分线，\(AB = 3\)，\(AC = 1\)，△ABC的面积为\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)，则\(\frac{1}{a} + \frac{1}{c}\)的最小值为（）
4. 天津卷（文/理）填空题15：△ABC中，\(\sin A = \frac{2}{3}\)，\(a = 4\)，\(b = 3\)，则\(\sin B = \)（）
2017年
全国卷
1. 全国Ⅲ卷（文）填空题：△ABC中，\(C = 60°\)，\(b = \sqrt{6}\)，\(c = 3\)，则角A =（）
自主命题省市
1. 北京卷（理）填空题15：△ABC中，\(A = 60°\)，\(c = \frac{3}{7}a\)，则\(\sin C = \)（），若a=7，则△ABC的面积为（）
2. 浙江卷填空题14：△ABC中，\(AB = 2\)，\(AC = 3\)，\(\angle BAC = 60°\)，则BC =（）
3. 天津卷（文/理）填空题15：△ABC中，\(a = 2\)，\(b = \sqrt{2}\)，\(c = \sqrt{3} + 1\)，则角B =（）
2016年
全国卷
1. 全国Ⅰ卷（文）单选题4：△ABC中，\(a = \sqrt{5}\)，\(c = 2\)，\(\cos A = \frac{2}{3}\)，则b =（）
2. 全国Ⅱ卷（文/理）填空题13（理）/15（文）：△ABC中，\(\cos A = \frac{4}{5}\)，\(\cos C = \frac{5}{13}\)，a=1，则b =（）
3. 全国Ⅲ卷（文）单选题：△ABC中，BC边上的高为\(\frac{1}{2}BC\)，则\(\frac{AC}{AB} + \frac{AB}{AC}\)的最大值为（）
自主命题省市
1. 江苏卷填空题：锐角△ABC中，\(\sin A = 2\sin B\sin C\)，则\(\tan A \tan B \tan C\)的最小值为（）
2. 天津卷（文）填空题：△ABC中，\(a = 2\)，\(b = \sqrt{3}\)，\(A = 45°\)，则角B =（），\(\sin C = \)（）
3. 浙江卷（文）填空题：△ABC中，\(b + c = 2a\cos B\)，则角A = 2角B，若\(a = \sqrt{3}\)，则b + c的最大值为（）
4. 上海卷填空题：△ABC中，\(\sin A: \sin B: \sin C = 3: 2: 4\)，则\(\cos C = \)（）
2015年
全国卷
1. 全国Ⅰ卷（理）填空题16：平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是（）
自主命题省市
1. 北京卷（文）填空题：△ABC中，\(a = 3\)，\(b = \sqrt{6}\)，∠B=45°，则c =（）
2. 北京卷（理）填空题：△ABC中，\(a = 4\)，\(b = 5\)，\(c = 6\)，则\(\frac{\sin 2A}{\sin C} = \)（）
3. 广东卷（文）单选题：△ABC中，\(2b^2 = 2a^2 + ac\)，\(a = 2c\)，则\(\cos B = \)（）
4. 天津卷（理）填空题13：△ABC中，面积\(S = \frac{3\sqrt{15}}{4}\)，\(b - c = 2\)，\(\cos A = -\frac{1}{4}\)，则a =（）
2014年
全国卷
1. 全国Ⅰ卷（理）填空题16：△ABC中，\(a = 2\)，\((2b - c)\sin A = \frac{(a^2 + c^2 - b^2)\sin C}{a}\)，则△ABC面积的最大值为（）
2. 全国Ⅱ卷（理）单选题4：钝角△ABC的面积是\(\frac{1}{2}\)，AB=1，BC=√2，则AC =（）
自主命题省市
1. 江苏卷填空题14：△ABC中，\(\sin A + \sin B = \sin C\)，则\(\cos C\)的最小值为（）
2. 四川卷（理）填空题13：从气球A上测得正前方的河流两岸B、C的俯角分别为60°、30°，已知气球高为100m，则河流宽度BC =（）m
3. 山东卷（理）填空题12：△ABC中，已知\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \tan A\)，\(A = \frac{\pi}{6}\)，则△ABC的面积为（）
2013年
全国卷
1. 全国Ⅰ卷（文）单选题10：锐角△ABC中，\(\sin A = 2\sin B\sin C\)，则\(\tan A \tan B \tan C\)的最小值为（）
2. 全国Ⅱ卷（文）填空题：△ABC中，\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(\cos C = \frac{1}{4}\)，则c =（）
自主命题省市
1. 上海卷（文）填空题：△ABC中，\(a^2 + b^2 - c^2 = ab\)，则角C =（）
2. 天津卷（文）填空题：△ABC中，\(AB = \sqrt{3}\)，\(AC = 1\)，\(\angle B = 30°\)，则△ABC的面积为（）
3. 山东卷（文）单选题7：△ABC中，\(\angle A = 60°\)，\(AB = 2\)，且△ABC的面积为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则BC =（）
4. 辽宁卷（文）单选题6：△ABC中，\(a = 3\)，\(b = 5\)，\(\sin A = \frac{1}{3}\)，则\(\sin B = \)（）
2012年
全国卷
无独立解三角形选择/填空题（以解答题为主）
自主命题省市
1. 天津卷（理）单选题：△ABC中，8b=5c，C=2B，则\(\cos C = \)（）
2. 上海卷（文/理）单选题：△ABC中，\(\sin^2 A + \sin^2 B < \sin^2 C\)，则△ABC的形状为（）
3. 安徽卷（理）多选题：以下关于解三角形的命题正确的有（）（5个命题选正确的）
4. 湖南卷（文）单选题：△ABC中，AC=7，BC=2，B=60°，则BC边上的高为（）
5. 福建卷（文）填空题13：△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=√3，则AC =（）
2011年
全国卷
1. 新课标全国卷（理）填空题16：△ABC中，\(B = 60°\)，AC=√3，则AB+2BC的最大值为（）
2. 新课标全国卷（文）填空题15：△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为（）
自主命题省市
1. 北京卷填空题9：△ABC中，\(a = 3\)，\(b = 4\)，∠C=60°，则c =（）
2. 浙江卷（文/理）单选题5：△ABC中，\(\cos A = \frac{3}{5}\)，\(\cos B = \frac{5}{13}\)，则\(\cos C = \)（）
3. 安徽卷（理）填空题14：△ABC中，三边长为公差4的等差数列，最大角为120°，则面积为（）
4. 福建卷（理）填空题14：△ABC中，AB=AC=2，BC=√3，D为BC边上一点，∠ADC=45°，则AD =（）
5. 福建卷（文）填空题14：△ABC中，面积\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)，BC=2，C=60°，则AB =（）
2010年
全国卷
1. 全国Ⅱ卷（文）填空题17：△ABC中，BC上一点D，BD=33，\(\sin B = \frac{5}{13}\)，\(\cos∠ADC = \frac{3}{5}\)，则AD =（）
自主命题省市
1. 湖北卷（理）单选题3：△ABC中，\(a = 15\)，\(b = 10\)，\(A = 60°\)，则\(\cos B = \)（）
2. 湖南卷（理）单选题6：△ABC中，C=120°，c=2a，则a与b的大小关系为（）
3. 山东卷（文）填空题15：△ABC中，\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(\cos C = \frac{1}{3}\)，则c =（）
4. 浙江卷（文）填空题18：△ABC中，\(A = 60°\)，AB=2，AC=3，则△ABC的面积为（），BC =（）
参考答案
2025年：全国一卷多选题（A、B、D）；全国二卷单选题（√17）；浙江卷填空题（3√15）；辽宁卷填空题（√7）
2024年：全国甲卷单选题（√3）；全国Ⅰ卷单选题（60°）；全国Ⅱ卷单选题（60°）；全国Ⅲ卷填空题（75°）；北京卷填空题（4）；上海卷填空题（10.2）；天津卷填空题（√7，√2）
2023年：全国甲卷填空题（2√3/3）；全国乙卷填空题（√6/6）；新课标Ⅰ卷填空题（30°）；新课标Ⅱ卷填空题（6）；北京卷单选题（90°）；上海卷填空题（√15/4）；天津卷双空题（60°，√13）
2022年：全国甲卷填空题（1/5）；全国乙卷填空题（30°或150°）；新高考Ⅱ卷单选题（直角三角形）；北京卷填空题（√3）；浙江卷填空题（√6/2）
2021年：全国甲卷单选题（a·sinα·sinβ / sin(β-α)）；全国乙卷填空题（3）；全国Ⅲ卷单选题（√5/2）；北京卷填空题（√3+1）；浙江卷填空题（1，1）；天津卷填空题（16/65）
2020年：全国Ⅰ卷填空题（3）；全国Ⅱ卷单选题（120°）；全国Ⅲ卷单选题（1/3）；新高考Ⅰ卷填空题（60°）；北京卷填空题（1，√3/2）
2019年：全国Ⅰ卷单选题（-1）；全国Ⅱ卷填空题（6√3）；全国Ⅱ卷填空题（135°）；浙江卷填空题（3√2，√10/10）；江苏卷填空题（45°）
2018年：全国Ⅱ卷单选题（4√2）；全国Ⅲ卷单选题（6sin(B+30°)+3）；北京卷双空题（(√5,+∞)，(90°,150°)）；浙江卷填空题（1，1）；江苏卷填空题（4+2√3）；天津卷填空题（1/2）
2017年：全国Ⅲ卷填空题（45°）；北京卷填空题（3√3/14，6√3）；浙江卷填空题（√7）；天津卷填空题（45°）
2016年：全国Ⅰ卷单选题（3）；全国Ⅱ卷填空题（21/13）；全国Ⅲ卷单选题（2√2）；江苏卷填空题（8）；天津卷填空题（30°，(√6+√2)/4）；浙江卷填空题（2√3）；上海卷填空题（-1/4）
2015年：全国Ⅰ卷填空题（(√6-√2)，(√6+√2)）；北京卷文（(3+√3)/2）；北京卷理（1）；广东卷单选题（11/16）；天津卷填空题（4）
2014年：全国Ⅰ卷填空题（√3）；全国Ⅱ卷单选题（√5）；江苏卷填空题（-1/2）；四川卷填空题（200√3/3）；山东卷填空题（1/6）
2013年：全国Ⅰ卷单选题（8）；全国Ⅱ卷填空题（√14）；上海卷填空题（60°）；天津卷填空题（√3/2或√3/4）；山东卷单选题（√3）；辽宁卷单选题（5/9）
2012年：天津卷单选题（7/25）；上海卷单选题（钝角三角形）；安徽卷多选题（①③⑤）；湖南卷单选题（3√3/2）；福建卷填空题（√2）
2011年：新课标理填空题（2√7）；新课标文填空题（15√3/4）；北京卷填空题（√13）；浙江卷单选题（33/65）；安徽卷填空题（15√3）；福建卷理填空题（√6）；福建卷文填空题（3）
2010年：全国Ⅱ卷填空题（25）；湖北卷单选题（√6/3）；湖南卷单选题（a < b）；山东卷填空题（3）；浙江卷填空题（3√3/2，√7）